1) дифференциальное уравнение вида
, (*)
где
ao,
...,
an-постоянные числа; при
х>0
уравнение (*) подстановкой
х = et сводится к линейному дифференциальному уравнению (См.
Линейные дифференциальные уравнения) с постоянными коэффициентами. Изучалось Л.
Эйлером
с 1740. К уравнению (*) сводится подстановкой
x' = ax + b уравнение
.
2) Дифференциальное уравнение вида
,
где X (x) = a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4, Y (y) = а0у4+а1у3+а2у2+а3у +a4. Л. Эйлер рассматривал это уравнение в ряде работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение этого уравнения имеет вид F (х, у) = 0, где F (х, у) - симметричный многочлен четвёртой степени от х и у. Этот результат Эйлера послужил основой теории эллиптических интегралов.
3) Дифференциальное уравнение вида
'
.
Выведено Л. Эйлером в 1744.